Im letzten Artikel zur Einführung in die Differenzialrechnung haben wir gesehen, dass man die Steigung von nichtlinearen Funktionen an einem bestimmen Punkt anhand der sogenannten Tangentensteigung bestimmen kann. Denn im Vergleich zu einer Geraden, wie z.B. 2x verfügen quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen etc. nicht nur eine (gleichbleibende) Steigung. Je nachdem, an welcher Stelle man sich auf dem Funktionsgraphen befindet ändert sich die Steigung. Mit verschiedenen x-Werten haben nichtlineare Funktionen somit mehrere Steigungsgrade.

Anhand der Differenzialrechnung kann man die Steigung einer Funktion an bestimmten Punkten bestimmen. Voraussetzung ist allerdings, dass die Funktion an dieser Stelle überhaupt differenzierbar ist. Das heißt, dass die Steigung der Funktion an der Stelle x₀ eindeutig bestimmbar sein, bzw. dass eine eindeutige Tangente existieren muss.

Auch der Begriff der Stetigkeit spielt bei der Differenzialrechnung eine wichtige Rolle, denn sowohl Differenzierbarkeit, als auch Stetigkeit hängen miteinander zusammen. Inwiefern dies der Fall ist und was unter den Begriffen der Differenzierbarkeit und Stetigkeit von Funktionen genau gemeint ist, soll in diesem Artikel anschaulich betrachtet werden. Neben der Begriffserklärung möchte ich daher vor allem anhand von Beispielen zeigen, woran man erkennt, ob Funktionen stetig oder differenzierbar sind und wo/ob ggf. Ausnahmestellen existieren.

Stetigkeit von Funktionen

Stetig heißt nichts anderes als „Durchgehend“. Übertragen auf Funktionen bedeutet das, dass das eine Funktion innerhalb eines Intervalls [a; b] dann stetig ist, wenn man den Funktionsgraphen durchgehend zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Die Punkte müssen sich innerhalb des Intervalls nahtlos aneinander anfügen, ohne das sich irgendwelche Lücken oder Sprungstellen ergeben.

Das folgende Beispiel zeigt eine stetige und eine unstetige Funktion. Die blaue Sinusfunktion sin(x) ist stetig, man könnte sie bequem ohne Absetzen mit dem Stift nachzeichnen. Bei der roten Bruchfunktion x³-1/x-1 hingegen tut sich bei x=1 eine Lücke auf. Die Funktion ist dort nicht stetig.

Mathematisch lässt sich Stetigkeit wie folgt definieren: Die Funktion f(x) heißt an der Stelle x = x₀ stetig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Funktionswert f(x₀) existiert
• Eindeutiger Grenzwert von f(x) für x = x₀ existiert
• Grenzwert entspricht f(x₀)

Wenn nur eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, gilt f(x) an der Stelle x = x₀ als unstetig. Der rote Funktionsgraph ist an der Stelle x=1 nicht stetig, dort existiert auch kein Funktionswert für f(1). Und wo f(1) nicht existiert, kann auch nicht der Grenzwert f'(1), bzw. f(x0) existieren. Der Grenzwert ist dabei nichts anderes, als die Ableitung der Funktion.

Existiert an der Stelle x = x₀  ein Grenzwert, spricht man auch davon, dass die Funktion dort differenzierbar ist. Inwiefern sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit bedingen, wird im nächsten Abschnitt behandelt.

Differenzierbarkeit von Funktionen

Differenzierbar bedeutet, dass an der Stelle x₀ einer Funktion, die Steigung ermittelt werden kann. Im Punkt P₀ (x₀ | f(x₀).muss also eine eindeutige Tangente existieren.

Funktionen, die in x₀ differenzierbar sind, sind auch immer stetig. Ist eine Funktion an irgendeiner Stelle unstetig, kann sie dort auch nicht differenziert werden. Die rote Bruchfunktion ist in x₀=1 unstetig und daher in x₀=1 auch nicht differenzierbar. Dort kann keine Tangente angelegt oder Steigung ermittelt werden, da an dieser Stelle nur „Luft“ ist.

Die Differenzierbarkeit bedingt also die Stetigkeit. Damit eine Funktion an der Stelle x₀ differenzierbar sein kann, muss sie an der Stelle x₀ auch stetig sein. Allerdings gilt das nicht zwingend für den Umkehrschluss. D.h., dass Funktionen, die in x₀ stetig sind, nicht auch zwingend differenzierbar sein müssen. Es gibt somit Funktionen, die durchgehend, bzw. stetig sind, aber an bestimmten Stellen dennoch nicht differenziert werden können.

Die mathematische Definition für die Differenzierbarkeit von Funktionen lautet:

Die Funktion f(x) ist dann an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist. Dann existiert die erste Ableitung f'(x), bzw. die Steigung der Tangente im Punkt Punkt P₀ (x₀ | f(x₀).

Das mit dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert sieht zwar etwas kompliziert aus, bedeutet aber nichts anderes, als das es egal ist, ob wir uns von der rechten Seite oder der linken Seite der Stelle x₀ nähern. Wenn eine Tangente zur Steigungsermittlung angelegt wird, lässt man x immer näher an x₀ herankommen, man bildet praktisch den Grenzwert. Will man z.B. Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x=3 ermitteln, so kann man sich entweder von links (… -1, 0, 1, 2) oder von rechts (4, 5, 6, 7 …) der 3 nähern.

Wenn der rechtsseitige Grenzwert nun anders, als der linksseitige Grenzwert wäre, würde das ja bedeuten, dass der Grenzwert nicht eindeutig wäre. Es würde demnach auch keine eindeutige Tangente für die Stelle x=3 existieren. Somit wäre die Funktion bei x=3 auch nicht differenzierbar.

Das hört sich jetzt vielleicht noch etwas verwirrend an, wird später aber noch anhand von Beispielen erläutert.Bis hierher sollte man sich nur merken:

• Ist eine Funktion in x₀ differenzierbar, ist sie dort auch stetig.
• Ist eine Funktion in x₀ stetig, muss sie dort nicht unbedingt differenzierbar sein.

Definitionsbereich bestimmen

Zur Festlegung des Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbereichs ist es wichtig, sich mit dem Begriff des Definitionsbereichs zu beschäftigen. Denn eine Funktion ist nur an den Stellen differenzierbar, an denen sie auch definiert ist.

Mit dem Definitionsbereich sind alle möglichen x-Werte gemeint, die die Funktion einnehmen kann. Dies gilt es zunächst zu prüfen. Bei ganzrationalen Funktionen, wie z.B. x² oder 4x³ ist die Bestimmung des Definitionsbereichs relativ einfach. Soweit nicht anders angegeben, ist der Definitionsbereich ganzrationaler Funktionen die Menge der reellen Zahlen (= Ganze Zahlen, Brüche und Wurzel einer Zahl). Dasselbe gilt für Polynome, wie z.B. 7x³ + x² + 6x + 2, also Summen von Vielfachen von Potenzen mit einer natürlichen Zahl im Exponenten (hoch 3, hoch 2 usw.) und einer Variablen (z.B. x).

Jede ganzrationale Funktion und jedes Polynom sind definiert über ganz IR. D.h., dass wir jedes x aus der Menge der reellen Zahlen ) in die Funktion einsetzen können, um einen Funktionswert f(x), bzw. y zu erhalten. Man schreibt dann für den Definitionsbereich: D_f =x ∈ I‍R

Doch nicht bei allen Funktionen ist der Definitionsbereich so klar geregelt. So können Funktionen auch überall oder nur an bestimmten Stellen undefiniert sein. Und wo eine Funktion nicht definiert ist, kann auch keine Tangente angelegt, bzw. keine Steigung ermittelt werden. Gebrochen rationale Funktionen, wie Bruchfunktion im Beispiel, sind differenzierbar über ihrem Definitionsbereich. Dieser ist, wie man gut an der Lücke im roten Funktionsgraphen erkennen kann, eingeschränkt.

Doch wie erkennt man eingeschränkte Definitionsbereiche und Definitionslücken, ohne eine Funktion zeichnen zu müssen? Man begibt sich auf die Suche nach den Zahlen, wo die Funktion nicht definiert ist. Die häufigsten Ursachen für nicht definierte Bereiche sollen kurz zusammengefasst werden:

• Teilen durch Null: Die Funktion f(x) = 1/x ist z.B. in x = 0 nicht definiert.
• Wurzel aus einer negativen Zahl:  ist z.B. nicht definiert.
• Logarithmus für eine negative Zahl oder Null: log(-5) oder log(0) sind z.B. nicht definiert

Addition, Subtraktion, Multiplikation, sowie Trigonometrische Funktionen, wie (sin(x), cos(x), tan(x)  sind hingegen immer möglich. Bei Potenzen muss unterscheiden, ob die Variable in der Basis (xⁿ) oder im Exponenten (a^x) steht. Bei xⁿ sind natürliche Exponenten (0, 1, 2, 3, 4 …) kein Problem. Bei einer negativen Hochzahl, z.B. x^-3 hingegen, entsteht ein Bruch: 1/x³. Ein Bruch im Exponenten, z.B. x^1/3 führt hingegen zu einer Wurzel. Will man den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen, so orientiert man sich daher an den beteiligten Rechenarten.

Wenn man den Definitionsbereich der Funktion bestimmt hat, kann man sich zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit merken:

Stetigkeit:

• Jede ganzrationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig.
• Jede gebrochen rationale Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

Differenzierbarkeit:

• Jedes Polynom ist differenzierbar über ganz IR.
• Jede gebrochen rationale Funktion ist differenzierbar über ihrem Definitionsbereich.

Entsteht bei gebrochenrationalen Funktionen im Nenner eine Null, so handelt es sich um einen Pol. Da man nicht durch Null teilen kann,  ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert, nicht stetig und auch nicht differenzierbar. Dabei gilt es aber auch zu prüfen, ob Zähler und Nenner eventuell dieselben Nullstellen haben, dann handelt es sich nämlich um eine behebbare, bzw. „hebbare Definitionslücke“.

Da die Begriffe Nullstelle, Polstelle, Definitionslücke und hebbare Definitionslücke es später auch für die Funktionsuntersuchung und Kurvendiskussion relevant sind, möchte ich einen im folgenden Abschnitt einen kleinen Exkurs einlegen.

Nullstelle, Polstelle, Definitionslücke und hebbare Definitionslücke

Betrachten wir die gebrochenrationale Funktion:

Im Prinzip kann sowohl das Zählerpolynom u(x), als auch das Nennerpolynom v(x) den Wert Null annehmen. Auch können im dritten Fall sowohl Zähler, als auch Nenner Null werden.

Überall dort, wo das Zählerpolynom u(x) den Wert Null annimmt und das Nennerpolynom v(x) ungleich Null ist, spricht man bei gebrochenrationalen Funktionen von einer Nullstelle.

Nullstelle: u(x) = 0; v(x) ≠ 0

An den Stellen, wo das Nennerpolynom v(x) den Wert Null annimmt, spricht man von einer Definitionslücke.

Definitionslücke: v(x) = 0 (entweder Polstelle oder hebbare Definitionslücke)

Definitionslücken sind somit alle Nullstellen des Nenners, die Funktion ist dort nicht definiert. Dabei kann eine solche Lücke entweder ein Pol sein oder eine hebbare Definitionslücke.

Eine Polstelle (auch „Unendlichkeitstelle“ genannt), findet man dann, wenn der Nenner Null wird und gleichzeitig das Zählerpolynom u(x) einen Wert ungleich Null annimmt.

Polstelle: u(x) ≠ 0; v(x) = 0

Haben Zähler und Nenner dieselben Nullstellen, so spricht man von einer hebbaren Definitionslücke.

Definitionslücke: u(x) = 0; v(x) = 0

Ist x₀ gleichzeitig die Nullstelle des Zählers und des Nenners, entsteht der typische undefinierte Grenzwert 0/0. Der Funktionsgraph hat an der Stelle ein Loch. Diese Loch kann aber „aufgefüllt“ werden, indem man diese Nullstelle aus dem Nenner kürzt und den Definitionsbereich erweitert. Man schafft praktisch eine Zusatzdefinition an der Stelle x₀, an der die Funktion ja ansonsten nicht definiert wäre.

Die Definitionslücke an der Stelle x₀ ist somithebbar, bzw. „füllbar“, man nennt sie dann hebbare Definitionslücke. Die Funktion hat dann kein Loch mehr, sondern kann (stetig) fortgesetzt werden. Diese sei an folgendem einfachen Beispiel einmal veranschaulicht:

Untersucht man den Definitionsbereich der Funktion, so stellt man fest, dass sie bei x=-1 eine Nullstelle hat (dann wird nämlich der Zähler Null, der Nenner nicht -> u(x) = 0; v(x) ≠ 0. Zudem stellt man fest, dass die Funktion an der Stelle x=1 nicht definiert ist.

Denn setzt man für x eine 1 ein, so ergibt sich sowohl im Zähler(1²-1=0), als auch im Nenner (1²-1) eine Null. Und 0/0 ist ein undefinierter Ausdruck. Der Funktionsgraph hat also an der Stelle x=1 ein Loch, eine Definitionslücke -> u(x) = v(x) = 0.

Da die Nullstelle aber sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommt, kann man sie durch Faktorisieren (Ausklammern) des Zählerpolynoms kürzen:

Nach Kürzen des Terms (x – 1) ergibt sich eine neue Funktion, nämlich x + 1. Lässt man jetzt x gegen 1 streben erkennt man, dass der Grenzwert für x₀ = 1 durchaus existiert, er ist nämlich 2. Damit wäre die Lücke an der Stelle x = 1 schließbar.

Die neue Funktion f*(x) nennt man stetige Fortsetzung. Der Funktionsgraph von f*(x) sieht genauso aus, wie der von f(x), wie man an der folgenden Grafik sehen kann. Die beiden Geraden liegen aufeinander, hat aber bei x=1 kein Loch mehr:

Die Definitionslücke kann durch Hinzunahme des Punktes (x=1/f(x)=2) geschlossen und der Graph durchgehen fortgesetzt werden (stetige Fortsetzung).

Für die stetige Fortsetzung der Funktion schreibt man dann:

Zusammenfassend kann man festhalten, dass eine Funktion in x₀ immer dann stetig fortsetzbar ist, wenn der Grenzwert für x₀ existiert. In unserem Beispiel ist der Grenzwert für x₀ = 1 existent (nämlich 2).

Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Beispiele

Bisher haben wir die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit theoretisch betrachtet, nun folgen ein paar Beispiele zum Veranschaulichen.

Beispiel 1:

Die Funktion ist an der Stelle x=2 nicht definiert, da der Nenner dann Null ergeben würde und man durch Null nicht teilen kann. Da bei x=2 der Nenner gleich Null ist, der Zähler aber ungleich Null ist (u(x) ≠ 0; v(x) = 0), befindet sich an dieser Stelle eine Polstelle oder Unendlichkeitsstelle.

An der Stelle x=2 befindet sich eine senkrechte Asymptote, also eine senkrecht verlaufende Gerade, an die sich der Funktionsgraph beliebig annähert, sie aber dabei nie erreicht. Nähert man sich x=2 von rechts, indem man z.B.  2,0001 wählt, so entsteht für y ein sehr hoher Wert. Rechnet man 1/(2,0001-2), ergibt das für f(x) = 10.000. Je näher man von der rechten Seite an den Wert 2 heranrückt, umso größer wird der y-Wert. Er geht praktisch bis ins Unendliche. Ebenso ist es, wenn man sich von der linken Seite der Stelle x=2 nähert. Setzt man für x z.B. 1,9999 ein, so ergibt sich ein y-Wert von: 1/(1,9999-2)= -10.000. In dem Fall ergibt sich ein sehr hoher negativer Wert.

Da die Funktion bei x=2 nicht definiert ist, kann sie dort auch nicht stetig und differenzierbar sein. Ansonsten ist sie überall differenzierbar und somit auch stetig.

Beispiel 2:

Wie man gut erkennen kann, ist die Funktion stetig, denn kann durchgehend gezeichnet werden, ohne den Stift abzusetzen. Setzt man in der Gleichung x=0 ein, so ergibt das den Funktionswert Null (3. Wurzel aus (4*0)² = 0).

Die Funktion ist also auch bei x=0 stetig und dort auch definiert, da ja ein Funktionswert vorhanden ist. Würde unter der Wurzel ein negativer Wert stehen, wäre die Funktion dort nicht definiert.

Allerdings ist sie bei x=0 nicht differenzierbar, d.h. das man an der Stelle keine Ableitung bilden kann. Warum nicht? Schauen wir uns mal die Ableitung einer Wurzelfunktion an:

Bei der Ableitung unseres Beispiel müssen wir die Kettenregel anwenden, da unter der Wurzel ebenfalls eine Funktion steht.

Wurde man bei der Bildung der Ableitung für x eine Null einsetzen, entstünde ein undefinierter Ausdruck, da Teilen durch Null nicht definiert ist. Daher ist die Funktion dort auch nicht differenzierbar.

Die Funktion ist überall stetig und außer in x=0 auch überall differenzierbar. Das Beispiel zeigt deutlich, dass auch eine stetige Funktion nicht an jeder Stelle differenzierbar sein muss.

Beispiel 3:

Wenn man die Funktion betrachtet, stellt man fest, dass sie bei x=0 zwar einen Knick besitzt, aber überall definiert und stetig ist, da an jeder Stelle ein Funktionwert existiert. Allerdings ist sie bei x=0 nicht differenzierbar. Warum?

In diesem Beispiel haben wir es mit einer Betragsfunktion zu tun. Der Betrag (auch Absolutwert oder absoluter Betrag) gibt den Abstand zu Null an und ist daher immer positiv. Er wird meist mit |x| gekennzeichnet, seltener auch mit abs(x). Ob in den Betragsstrichen nun z.B. 8 oder -8, ist egal, das Ergebnis ist immer der positive Wert, in dem Fall 8. Man lässt also das Vorzeichen weg.

Für eine reelle Zahl x gilt demnach:

In unserem Beispiel könnten die 1,5x im Betrag sowohl positiv, als auch negativ sein. Aus diesen beiden Möglichkeiten ergeben sich zwei Funktionen, eine positive und eine negative:

Wir haben somit sowohl die Funktion f(x) = x, als auch die Funktion f(x) = -2x. Anhand der folgenden Grafik wird nochmal deutlich, dass es sich bei der Betragsfunktion um zwei Geraden handelt:

Da an der Stelle x=0 somit zwei Steigungen existieren, ist die Betragsfunktion an dieser Stelle nicht differenzierbar. Denn Voraussetzung zur Differenzierbarkeit ist, dass eine eindeutige Tangente angelegt werden kann, bzw. dass eine eindeutige Steigung existiert. Dies ist hier nicht der Fall.

Beispiel 4:

Ähnlich wie in Beispiel 1, hat die Funktion bei x= -2 eine Polstelle. In der Funktion ist das dadurch erkennbar, dass der Nenner Null werden würde (-2 +2 = 0), der Zähler aber nicht. Die Funktion ist in x= -2 noch definiert und daher dort weder stetig, noch differenzierbar. Ansonsten ist sie überall definiert, stetig und differenzierbar.

Bei x=2 hingegen würde der Zähler Null ergeben, der Nenner aber nicht. Daher befindet sich an dieser Stelle eine Nullstelle. Möchte man nun herausfinden, welche Steigung die Funktion an der Nullstelle x=2 hat, rechnet gemäß der Quotientenregel man:

Der Grenzwert, bzw. die Steigung an der Nullstelle x=2 beträgt somit 0,25. Dies wird anhand der folgenden Grafik nochmal verdeutlicht, in der neben der Ausgangsfunktion auch die erste Ableitungsfunktion abgebildet ist:

Beispiel 5:

Wie in Beispiel 3 haben wir es auch hier mit einer Betragsfunktion zu tun. Jedoch ist diese bei x=0 nicht definiert. Hier würde der Nenner des Bruches nämlich Null ergeben. Da der Zähler aber ungleich Null, bzw. 1 bleibt, handelt es sich an dieser Stelle um eine Polstelle. Bei x=0 ist die Funktion nicht definiert und somit auch nicht stetig und nicht differenzierbar.

An der Stelle x= -3 nimmt die Funktion einen Knick. Dort ist sie definiert und stetig, aber nicht differenzierbar. Wie in Beispiel 3 bereits erläutert kann der Wert innerhalb der Betragsstriche sowohl positiv, als auch negativ sein. Es ergeben sich somit folgende zwei Funktionen:

Da sich die Betragsfunktion aus zwei Funktionen zusammensetzt (die eine mit positiver, die andere mit negativer Steigung), kann an der Stelle x= -3 auch keine eindeutige Tangente angelegt werden. Wir haben es dort mit zwei Steigungen zu tun. Dies wird auch an der folgenden Grafik nochmal deutlich, in der beide Funktionen eingezeichnet sind:

Der grüne Funktionsgraph von f(x) = (x+3)/x hat an der Stelle x= -3 eine negative Steigung von -1/3, bzw. -0,333333….. Die kann man mit der Quotientenregel ermitteln:

Da der Betrag |x+3| aber auch negativ sein kann, ergibt sich für die Funktion g(x) = – (x+3)/x an der Stelle x= -3 eine positive Steigung:

Die Steigung der Funktion g(x) an der Stelle x=-3 beträgt 1/3, bzw. 0,33333…. Wir haben bei x=-3 also sowohl eine positive Steigung, als auch eine negative Steigung. Und wo keine eindeutige Steigung ermittelt werden kann, ist die Funktion (obwohl sie stetig ist) auch nicht differenzierbar.

Zum Schluss

Die Bestimmung des Definitionsbereichs, sowie der Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion sind wesentliche Elemente der Kurvendiskussion. Auch Begriffe, wie Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Definitionslücken gehen zur Funktionsuntersuchung und werden noch in Teil 4 und 5 der Artikelreihe „Differentialrechnung in 5 Schritten“ genauer beleuchtet, wo es um Funktionsuntersuchungen und eine vollständige Kurvendiskussion geht.

Im nächsten Artikel widmen wir uns zunächst dem Kernthema der Differentialrechnung, nämlich Ableitungen. Funktionen ableiten zu können, gehört zum Handwerk, da man mit Ableitungen die Steigung, sowie Extremstellen von Funktionen herausfinden kann. Bei dem kommenden Artikel wird es aber weniger um die theoretische Bildung von Ableitungen gehen (diese wurde bereits in Teil 1 „Einführung in die Differentialrechnung“ behandelt). Stattdessen werden diverse Beispiele betrachtet, bei denen die Ableitungsregeln Anwendung finden.