So heißt der Kurs, der mir im ersten Semester so manches Kopfzerbrechen bereitet hat. Kein Wunder – Schließlich war es ein Wurf ins eiskalte Wasser. Anzunehmen, ich könne nach einigen Jahren mathematischer Pause (privat gehört Mathe eher nicht zu meinen Favouriten ;)) einfach so, wie damals in der FOS an Mathe anknüpfen zu können, hat sich als Trugschluss erwiesen.

Aber egal, jetzt hieß es, zuerst einige Mathe Grundlagen nachzuholen. Hierzu habe ich die typischen Mathebücher mal durch Online Vorlesungen von Lecturio ausgetauscht und bin damit echt zufrieden. Es ist eine willkommene Abwechslung, sich mal wieder etwas vortragen zu lassen und einfach nur zuzuhören und mitzuschreiben. Der „Stop“- oder „Pause“-Knopf hat schon fast einen Verschleiß erlitten, weil ich jede Folie mitgeschrieben habe. Mittlerweile bin ich mit der gesamten Vorlesungsreihe „Grundlagen Mathematik“ fertig und mit den Inhalten fast drei Schulhefte gefüllt. Die Vorlesungen dauern zwar „nur“ zwischen 20 und 45 Minuten, aber wenn man mitschreiben und die Aufgaben mitrechnen, bzw. nachrechnen möchte, gehen die Online-Tutorials ganz schon in die Zeit.

Aber die Mühe und der Zeitaufwand waren es definitiv wert. Gestern habe ich mir die beiden letzten Vorlesungen angeschaut (insgesamt 22 in dieser Vorlesungsreihe) und war ganz schön froh, als es vorbei war. Es werden ja immer wieder neue Vorlesungen ergänzt, sodass ich bestimmt nicht das letzte Mal einen Blick in die Vorlesungreihe „Grundlagen Mathematik“ geworfen habe, aber bis heute wäre die Reihe geschafft.

Zwar gab es unter den Vorlesungen auch Themen, die ich wahrscheinlich nicht direkt für den Kurs „Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra“ gebrauchen werde, aber es schadet schließlich auch nicht, mehr zu lernen, als letztendlich wirklich nötig.

So, aber wie geht es jetzt weiter? Als ich vor einige Wochen auf Lecturio aufmerksam wurde, gab es zum Thema Mathe nur diese eine Vorlesungreihe, die zwar eine wichtige Basis bildet, auf der man später aufbauen kann, aber leider nicht direkt mit den im Kurs vermittelten Lehrinhalten im Zusammenhang steht. Um welche Lehrinhalte handelt es sich dabei?

Themen der Studienhefte zum Kurs 40600

Der Kurs „Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra“ besteht aus insgesamt drei Studienheften + Leitfaden.

Im Leitfaden findet man eine Beschreibung des Moduls „Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik“, sowie Inhaltsübersichten der einzelnen Kurseinheiten für den Kurs 40600. Neben einem ausführlichen Symbolverzeichnis ist im Leitfaden auch ein Literatur- und Stichwortverzeichnis zu finden.

Die Kurseinheit 1 beschäftigt sich mit den „Grundlagen der Differential- und Integralrechnung“. Sie gliedert sich in folgende Punkte und Unterpunkte auf:

1. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

• 1.1 Grundlagen
• 1.2 Ableitungsregeln
• 1.3 Extremstellen
• 1.4 Zusammenhang zw. dem Monotonieverhalten einer Funktion und deren Ableitungsfunktion
• 1.4 Zusammenhang Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen und der Ableitungsfunktion
• 1.6 Systematische Kurvendiskussion
• 1.7 Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken

• 2. Integralrechnung
• 2.1 Das unbestimmte Integral
• 2.2 Das bestimmte Integral
• 2.3 Das uneigentliche Integral
• 2.4 Ökonomische Anwendungen

In Kurseinheit 2 findet man eine „Einführung in die Lineare Algebra“. Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt:

• 3. Lineare Zusammenhänge in der Wirtschaft
• 3.1 Vektoren, Matrizen und Lineare Planungsrechnung
• 3.2 Lineare Algebra versus Linearität in der Ökonomie
• 4. Der 2-dimensionale Vektorraum R²
• 4.1 Grundbegriffe und Grundrechenarten im R²
• 4.2 Dimensionen und Basis des R²
• 4.3 Skalarprodukt, Gerade und Halbebene
• 5. Der n-dimensionale Vektorraum R²
• 5.1 Grundbegriffe und Grundrechenarten im Rⁿ
• 5.2 Dimensionen und Basis des Rⁿ
• 5.3 Skalarprodukt, Hyperebene und Halbraum
• 5.4 Hyperräume, Unterräume
• 5.5 Orthonormale Basen und Orthonormalisierung
• 6. Matrizen
• 6.1 Die Matrix als Lineare Abbildung
• 6.2 Grundbegriffe und Grundrechenarten für Matrizen
• 6.3 Die Matrixmultiplikation
• 6.4 Spezielle Matrizen
• 6.5 Input-Output-Analysen – Teil 1

Das letzte Studienheft des Kurses 40600 ist die Kurseinheit 3, in welcher „Ökonomische Anwendungen der Linearen Algebra“ beschrieben werden:

• 7. Lineare Gleichungssysteme und Matrixgleichungen
• 7.1 Einführung und Sprechweisen
• 7.2 Der Rang einer Matrix
• 7.3 Homogene Gleichungssysteme
• 7.4 Inhomogene Gleichungssysteme
• 7.5 Das Gaußsche Eliminationsverfahren
• 7.6 Pivotisieren
• 7.7 Definition und Eigenschaften von Matrixinversen
• 7.8 Die Matrixinversion mittels linearer Gleichungssysteme
• 7.9 Input-Output-Analysen Teil II
• 8. Spezielle Teilmengen des Rⁿ
• 8.1 Der ökonomische Sachbezug
• 8.2 Polyeder
• 8.3 Kegel
• 9. Grundlagen der linearen Planungssrechnung
• 9.1 Die Deckungsbeitragsrechnung
• 9.2 Basislösungen und Polyederecken
• 9.3 Graphische Lösung einer Plaungsausgabe
• 9.4 Der Simplexalgorithmus

Der Simplexalgorithmus schließt diese wunderbare Reihe denkwürdig ab. Ach ist das schön… Es zeigt sich doch immer wieder, das Wirtschaftsmathe wirklich das absolute Must Have für alle Module des Studiums ist. Irgendetwas zu rechnen gibt es überall, das ist sicher.

Nachdem ich mich im letzten Semester zuerst ernüchternd Wirtschaftsmathe ab- und VWL/BWL zugewendet habe, hätte ich mir schon denken können, dass es viel schlauer gewesen wäre, zuerst Wirtschaftsmathe durchzuziehen. Dann hätte ich mir den ganzen Stress mit einer Simplexaufgabe in einem BWL Studienheft sparen können. Was habe ich für Stunden damit verbracht, mir den ganzen Simplexkram selbst beizubringen. Hätte ich auch einfacher haben können. Naja, immerhin hab ich ihn dann nach unzähligen Stunden und Stress ohne Ende auch verstanden und daraufhin die Simplexumformung für Dummies entworfen.

Die Tutorials zu den Mathe Grundlagen haben mir bereits viel gebracht und waren einfach notwendig, um wie gesagt, eine Basis zu schaffen, auf die man aufbauen kann. Jetzt geht es also ans „Aufbauen“. Denn obwohl mein Mathe Grundwissen jetzt aufgefrischt ist, die o.g. Themen des Kurses „Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra“ wurden dabei kaum angeschnitten.

Umso cooler ist es, dass die Vortragsreihen im Bereich Methodenkenntnisse ausgebaut wurden und jetzt auch Vortragsreihen zu den Themengebieten „Grundlagen Analysis“ und „Grundlagen Lineare Algebra“ enthalten. Das hört sich ja von den Titeln schon mal sehr relevant zu den Themen der einzelnen Studienhefte aus dem Kurs an.

Welche Themen werden aber detailliert in diesen Vortragsreihen behandelt?

Vortragsreihe „Grundlagen Analysis“

Die Vortragsreihe „Grundlagen Analysis“ beinhaltet insgesamt 18 e-Vorträge, die alle von Dipl.-Kfm. / Dipl.-Volksw. Rolf Stahlberger gehalten werden. Dieser hat auch alle Vorträge in der Reihe „Grundlagen Mathematik“ gehalten, die er alle wirklich gut und verständlich vermitteln konnte (und wenn ich das sage, muss das schon was heißen.. ;)).

Die Dauer der Online-Tutorials beträgt zwischen 15 und 36 Minuten und ist damit ebenfalls ideal, weil zwischendurch auch ziemlich viel Zeit für das Mitschreiben oder Zurückspulen einkalkuliert werden muss.

In der Vortragsreihe „Grundlagen Analysis“ sind im Einzelnen folgende Lernvideos enthalten:

Die Vortragsreihe beginnt mit der Erklärung der Differentialrechnung, bzw. wozu diese überhaupt gut ist, wo man sie gebrauchen kann und wie diese Technik sich grafisch und rechnerisch erklären lässt. Danach werden ausführlich die wichtigsten Ableitungsregeln, wie Potenz- und Faktorregel, Summen- und Quotientenregel, sowie Produkt- und Kettenregel behandelt. Die Anwendung und der Nutzen dieser Regeln wird zusätzlich durch Beispiele verdeutlicht. Schließlich ist es einfach, wenn man die Regeln auch mathematischen versteht, anstatt sie nur auswendig zu lernen. Daher steht in einigen Vorträgen das Üben im Vordergrund.

Auch der Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit, wird nochmal verdeutlicht. Auch zum Ableiten von Logarithmus- und Exponentialfunktionen, sowie Sinus- und Cosinusfunktionen werden anhand von Beispielen behandelt. Das wird ja ein Spaß… ;). Besonders ausführlich wird vor allem die Kettenregel besprochen, da diese Regel so manchem Studenten Probleme behandelt. Und auch hier ist Üben, Üben und nochmals Üben anhand von mehreren Beispielen das Beste, was man machen kann.

Daraufhin wird bereits näher auf die erste Anwendung der Differentialrechnung, nämlich den Verlauf von Funktionen, eingegangen. Im Mittelpunkt dieses Vortrages stehen zunächst wichtige Grundbegriffe, wie Extrempunkt und Minimum und Maximum. Zusätzlich wird der Zusammenhang zwischen Differentialrechnung und Monotonie anhand der ersten Ableitung veranschaulicht.

Da anhand der Differentialrechnung auch die Krümmung einer Kurve untersucht werden kann, werden auch Begriffe, wie Konvexität und Konkavität ausführlich erläutert, die praktisch anhand einer vollständigen Kurvendisskusion veranschaulicht werden.

Die Regel von de l´Hospital zeigt weiterhin, dass die Differentialrechnung auch zur Berechnung umfangreicherer Grenzwerte genutzt werden kann.

Damit wäre das große Kapitel Differentialrechnung abgeschlossen, welchem nun Vorträge zur Integralrechnung folgen. Hier werden Grundlagen der Integralrechnung eingehender betrachtet, wie z.B. die Riemann-Integrale, Obersummen und Untersummen, sowie  das bestimmte und unbestimmte Integrals.

Mit den betrachteten wichtigen Rechenregeln für Integrale folgt dann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, welcher es möglich macht, konkret vorgegebene Integrale zu berechnen. Auch hier kann anhand von mehreren Beispielen geübt werden. Das große Kapitel Integralrechnung wird mit der partiellen Integration und der Substitutionsregel, sowie intensiven Übungsaufgaben abgeschlossen.

Neben der Differential- und Inegralrechnung wird in dieser Vortragsreihe auch die mehrdimenionale Analysis betrachtet. Der Vortrag widmet sich dem grafischen Verständnis von Funktionen mit mehreren Variablen und ihrer Erkennung anhand einer vorgegebenen Grafik.

Des Weiteren wird auch die Berechnung eines Homogenitätsgrades und partielle Ableitungen eingegangen. Und schließlich spielen auch Begriffe, wie Konvexität, Hessematrix und Definitheit eine wichtige Rolle, wenn es um die Existenz von Extrempunkten bei Funktionen mit mehreren Variablen geht.

Die Kurseinheit 1 wäre mit der Vortragsreihe „Grundlagen der Analysis“ somit ziemlich gut abgedeckt. Zwar ersetzen die Online-Tutorials nicht die Studienhefte, diese würde ich mir dennoch anschauen, aber sie sind mit Sicherheit zeitsparend, sodass man die Hefte nicht mehr ganz so intensiv durcharbeiten muss. Zudem hoffe ich, dass die Tutorials dieser Reihe ebenso gut verständlich und einfach erklärt sind, wie bei „Grundlagen Mathematik“.

Vortragsreihe Grundlagen „Lineare Algebra“

Da der Kurs 40600 aber nicht aus einem, sondern aus insgesamt drei Studienheften besteht, wäre es hilfreich, wenn es auch hierzu einige Tutorials gibt, die das Lernen etwas abwechslungsreicher gestalten könnten. In den Kurseinheiten 2 und 3 ging es vor allem um Matrizen und Vekotträume, Lineare Gleichungssysteme usw.

Die Vortragsreihe „Lineare Algebra“ beinhaltet zu diesen Themen insgesamt 16 e-Vorträge, die zwischen 11 und 46 Minuten dauern:

Die Vortragsreihe „Grundlagen Lineare Algebra“ lässt sich grob in drei Themengebiete unterteilen: Die Vektorrechnung, die Matrizenrechnung, sowie die Linearen Optimierung.

Die Vortragsreihe beginnt mit den Grundlagen der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Neben der Definition, bzw. Bedeutung eines Vektors im zweidimensionalen Vektorraum wird zum besseren Verständnis der Vektorrechnung verstärkt auf die grafische Darstellung eingegangen, sowie Grundrechenarten, wie Addition, Subtraktion usw behandelt. Die vermittelten Kenntnisse werden zudem mit Beispielen zur Darstellung von Vektoren und wichtigen Rechenregeln untermauert.

Als Nächstes werden die Begriffe Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit definiert. Zum Verständnis der Zusammenhänge werden die Definitionen auch anhand von grafischen Beispielen veranschaulicht. Dabei wird u.a. gezeigt, wie man zwei gegebene Vektoren auf lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit untersucht. Ebenso werden die Länge (Norm) eines Vektors und das Skalarprodukt von Vektoren behandelt, sowie aufgezeigt, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren durch das Skalarprodukt berechnen kann.

Nach Einführung der Hesseschen Normalform wird zum n-dimensionale Vektorraum übergegangen. Neben der Erläuterung wichtiger Begriffe, wie Einheitsvektoren, Orthogonal und Norm, Linearkombination und lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension, Orthogonal- und Orthonormalbasis wird zudem gezeigt, dass die Darstellungen zum zweidimensionalen Vektorraum als Spezialfälle des n-dimensionalen Vektorraums betrachtet werden können.

Der Begriff des Hyperraums ist zum Verständnis linearer Gleichungssysteme wichtig und wird sowohl rechnerisch eingeführt, als auch grafisch veranschaulicht. Den Ausführungen zum Hyperraum folgt die Matrizenrechnung. Bei der Matrizenrechnung werden neben den einzelnen Rechenregeln auch das Falksche Schema, die Transponierbarkeit, die Blockmatrizen, sowie spezielle Matrizen (z.B. Quadratische Matrix oder Dreiecksmatrix) behandelt.

Die beiden Kapitel Vektor- und Matrizenrechnung werden mit klausurtypischen Aufgaben abgeschlossen, mit denen die erworbenen Kenntnisse anhand praktischer Beispiele verfestigt und die Rechnungen zugunsten eines hohen Lerneffekts auch nachvollzogen werden können.

Der dritte Teil der Vorlesungsreihe zur Linearen Algebra beschäftigt sich mit dem Thema Lineare Gleichungssysteme. Zudem ist auch der Rang einer Matrix Thema des dritten Vorlesungsteils. Lineare Gleichungssysteme lösen zu können ist für die Praxis äußerst relevant, sodass mit dem Gauß-Algorithmus eine Rechentechnik aufgezeigt wird, mit der sich lösbare Gleichungssysteme einfach lösen lassen.

Anschließend wird die Berechnung der Inversen einer Matrix thematisiert.  Ein praktisches, ökonomischesBeispiel zeigt auf, wie man den Rohstoff- und Produktionsvektor über die Matrizenrechnung bestimmen kann.

Vor der Betrachtung von Determinanten und Eigenwerten, werden die bei der linearen Optimierung wichtigen Begriffe Konvexkombination und Polytop eingeführt und mit dem Begriff der Definitheit abgeschlossen.

Das letzte Kapitel der Vortragsreihe geht ausführlich auf die lineare Optimierung ein. Was versteht man unter einem linearen Optimierungsproblem? Und wie lässt sich dieses grafisch lösen? Neben den grafischen Lösungsansätzen, die jedoch nur bei linearen Optimierungsproblemen mit bis zu drei Variablen möglich sind, wird mit dem Simplex-Algorithmus eine Rechentechnik aufgeführt, mit der sich solche Probleme rechnerisch lösen lassen. Anhand von Beispielen wir diese Rechentechnik zusätzlich vertieft.

Auch in dieser Vortragsreihe lassen sich zahlreiche Parallelen zu den Themen aus den Kurseinheiten 2 und 3 erkennen.

Fazit

Beide Vortragsreihen sind thematisch super zur Vermittlung der nötigen Kenntnisse aus den drei Kurseinheiten des Kurses „Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra“ geeignet.

Die Vorlesungsreihe „Grundlagen Analysis“, die sich schwerpunktmäßig mit der Differential- und Integralrechnung beschäftigt, ist ideal für Kurseinheit 1. Die zweite Vortragsreihe „Grundlagen Lineare Algebra“ geht auf die drei großen Themenbereiche Vektorrechnung, Matrizenrechnung und Lineare Optimierung ein und greift damit die Themen aus den Kurseinheiten 2 + 3 auf.

Die Reihe „Grundlagen Mathematik“ hat mir schon gut gefallen, jedoch nicht wirklich die Themen aus den Kurseinheiten behandelt. Mit den Basics bin ich jetzt durch und nun geht´s „ans Eingemachte“ ;).  Ich hoffe, jetzt deutlich besser durch die Kurseinheiten durchzukommen, als im letzten Semester und mir hilft es, wenn ich den Stoff vor dem Lernen mit den Heften schon durch andere Quellen, wie z.B. Online Lernvideos oder auch Fachbücher etc. behandelt habe. Denn teilweise ist es dort viel besser und einfacher erklärt, als direkt in den Kurseinheiten.

Und das Gute ist: Mathe ist Mathe. Und viele Wege führen nach Rom. Ich habe auch schon oft gelesen, dass einige Studenten überhaupt nicht mit den Studienheften lernen, sondern sich die Themen ausschließlich aus anderen Quellen aneignen. Warum auch nicht? Hauptsache, das Ergebnis in der Klausur stimmt nachher. Das ist der große Vorteil bei Mathe. Man muss es verstehen und anwenden können. Wo man es gelernt hat, ist nebensächlich.

Ich werden mir die Studienhefte zwar sicherlich auch anschauen, aber nicht allzu viel Zeit dafür aufwenden. Und das beste Rezept für gute Noten ist immer noch Übung. Dazu eignen sich z.B. die Übungsaufgaben aus den Kurseinheiten, alte Klausuren oder diverse andere Quellen in Büchern oder aus dem Netz. Daher finde ich es auch gut, dass in den Lernvideos auch Beispielaufgaben durchgenommen und auch erklärt werden.

Ich mach mich dann mal an die Arbeit, denn schließlich ist Mathe zwar viel,aber nicht alles… Statistik gehört ja auch noch zum Modul. Ich hoffe, auch hier meine natürliche Aversion gegen dieses Fach ablegen und vielleicht irgendwann (spätestens zur Klausur) Freundschaft schließen zu können ;).